न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन रेखा

📊 न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन रेखा (एलएसआरएल) वह सीधी रेखा है जो प्रेक्षित डेटा बिंदुओं और रेखा के बीच वर्ग ऊर्ध्वाधर दूरी के योग को कम करती है। गणितीय रूप से, यदि हमारे पास n डेटा बिंदु (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ) हैं, तो LSRL वह रेखा है ŷ = mx + b जो मात्रा को न्यूनतम करती है Σ(yᵢ − ŷᵢ)², जहां ŷᵢ = mxᵢ + b हैं अनुमानित मान।

🏆 इस मानदंड को न्यूनतम वर्ग मानदंड कहा जाता है, और परिणामी रेखा को साधारण न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) रेखा या सर्वोत्तम फिट की रेखा के रूप में भी जाना जाता है। कम से कम वर्गों की विधि का एक समृद्ध इतिहास है जो 1805 में एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे से जुड़ा है, जिन्होंने इसे धूमकेतु की कक्षाओं को निर्धारित करने के तरीके के रूप में प्रकाशित किया था, और कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने दावा किया था कि वह 1795 से इसका उपयोग कर रहे थे और बाद में त्रुटियों के अपने सिद्धांत में इसे और विकसित किया।

⚠️ "न्यूनतम वर्ग" नाम सीधे गणितीय उद्देश्य से आता है: सभी के बीच। संभावित रेखाएँ, हम वह चुनते हैं जो वर्ग अवशेषों के योग को यथासंभव छोटा बनाती है - वर्गों का न्यूनतम योग। अवशिष्टों का वर्ग करना (पूर्ण मान लेने के बजाय) यह सुनिश्चित करता है कि सकारात्मक और नकारात्मक त्रुटियां एक-दूसरे को रद्द नहीं करती हैं, और यह बड़े विचलनों को अधिक महत्व भी देता है, जो सांख्यिकीय रूप से वांछनीय है।

📊 आज, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, प्राकृतिक विज्ञान, सामाजिक विज्ञान और इंजीनियरिंग में डेटा बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा फिट करने के लिए सबसे कम वर्ग प्रतिगमन रेखा सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विधि है। यह एकाधिक प्रतिगमन, सामान्यीकृत रैखिक मॉडल और मशीन लर्निंग एल्गोरिदम सहित अधिक उन्नत तकनीकों की नींव के रूप में कार्य करता है। प्रत्येक परिचयात्मक सांख्यिकी पाठ्यक्रम एलएसआरएल को प्रतिगमन विश्लेषण की आधारशिला के रूप में सिखाता है।