En Küçük Kareler Regresyon Doğrusu

📊 En küçük kareler regresyon çizgisi (LSRL), gözlemlenen veri noktaları ile çizgi arasındaki dikey mesafelerin karelerinin toplamını en aza indiren düz çizgidir. Matematiksel olarak, eğer n tane veri noktamız varsa (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ), LSRL, Σ(yᵢ − ŷᵢ)² miktarını en aza indiren ŷ = mx + b doğrusudur; burada ŷᵢ = mxᵢ + b tahmin edilir değerler.

🏆 Bu kritere en küçük kareler kriteri denir ve ortaya çıkan çizgi, Sıradan En Küçük Kareler (OLS) çizgisi veya en iyi uyum çizgisi olarak da bilinir. En küçük kareler yöntemi, onu kuyruklu yıldızların yörüngelerini belirlemenin bir yolu olarak yayınlayan 1805'te Adrien-Marie Legendre'ye ve bu yöntemi 1795'ten beri kullandığını iddia eden ve daha sonra hata teorisinde daha da geliştiren Carl Friedrich Gauss'a kadar uzanan zengin bir tarihe sahiptir.

⚠️ "En küçük kareler" adı doğrudan matematiksel hedeften gelir: olası tüm doğrular arasında, karesel artıkların toplamını mümkün olduğu kadar küçük yapanı, yani karelerin en küçük toplamını seçiyoruz. Artıkların karesinin alınması (mutlak değerler almak yerine), pozitif ve negatif hataların birbirini iptal etmemesini sağlar ve aynı zamanda istatistiksel olarak arzu edilen daha büyük sapmalara daha fazla ağırlık verir.

📊 Günümüzde en küçük kareler regresyon çizgisi, istatistik, ekonomi, doğa bilimleri, sosyal bilimler ve mühendislik alanlarında veri noktalarına düz bir çizgi uydurmak için en yaygın kullanılan yöntemdir. Çoklu regresyon, genelleştirilmiş doğrusal modeller ve makine öğrenimi algoritmaları dahil olmak üzere daha gelişmiş tekniklerin temelini oluşturur. İstatistiklere giriş niteliğindeki her ders, regresyon analizinin temel taşı olarak LSRL'yi öğretir.