Linha de regressão de mínimos quadrados

📊 A linha de regressão de mínimos quadrados (LSRL) é a linha reta que minimiza a soma das distâncias verticais quadradas entre os pontos de dados observados e a linha. Matematicamente, se tivermos n pontos de dados (x₁, y₁), (x₂, y₂),…, (xₙ, yₙ), o LSRL é a linha ŷ = mx + b que minimiza a quantidade Σ(yᵢ − ŷᵢ)², onde ŷᵢ = mxᵢ + b são os previstos valores.

🏆 Esse critério é chamado de critério de mínimos quadrados, e a linha resultante também é conhecida como linha de mínimos quadrados ordinários (OLS) ou linha de melhor ajuste. O método dos mínimos quadrados tem uma história rica que remonta a Adrien-Marie Legendre em 1805, que o publicou como uma forma de determinar as órbitas dos cometas, e a Carl Friedrich Gauss, que afirmou que o usava desde 1795 e mais tarde o desenvolveu ainda mais em sua teoria dos erros.

⚠️ O nome "mínimos quadrados" vem diretamente do objetivo matemático: entre todas as linhas possíveis, nós escolha aquele que faz com que a soma dos resíduos quadrados seja a menor possível — a menor soma dos quadrados. A quadratura dos resíduos (em vez de tomar valores absolutos) garante que erros positivos e negativos não se cancelem, e também dá mais peso a desvios maiores, o que é estatisticamente desejável.

📊 Hoje, a linha de regressão de mínimos quadrados é o método mais amplamente utilizado para ajustar uma linha reta através de pontos de dados em estatística, economia, ciências naturais, ciências sociais e engenharia. Ele serve como base para técnicas mais avançadas, incluindo regressão múltipla, modelos lineares generalizados e algoritmos de aprendizado de máquina. Cada curso introdutório à estatística ensina o LSRL como a base da análise de regressão.