Calculadora de regressão quadrática

📐 A regressão quadrática é uma técnica estatística para modelar relacionamentos em que a variável dependente segue um padrão parabólico ou em forma de U, em vez de uma linha reta. A equação geral é y = ax² + bx + c, onde a controla a curvatura e a direção da parábola (a positivo abre para cima, a negativo abre para baixo), b representa o componente linear ou inclinação da curva e c é a interceptação y - o valor previsto de y quando x é igual a zero. Ao contrário da regressão linear, que se ajusta a uma linha reta e assume uma taxa de mudança constante, a regressão quadrática captura fenómenos onde a própria taxa de mudança muda - isto é, onde a relação acelera ou desacelera ao longo do intervalo de valores de x. Isso a torna uma extensão natural da regressão linear: enquanto a regressão linear modela uma inclinação constante, a regressão quadrática adiciona um segundo termo que permite que a inclinação varie, produzindo uma curva com um único ponto de inflexão (o vértice). Exemplos do mundo real incluem: (1) Física - o movimento do projétil segue um arco parabólico onde a altura primeiro aumenta e depois diminui em função do tempo;

📈 (2) Economia - as funções de custo geralmente exibem uma forma de U, onde os custos médios primeiro diminuem devido às economias de escala e depois aumentam devido aos retornos decrescentes;

📊 (3) Biologia - dose-resposta curvas onde a eficácia aumenta com a dose até um nível ideal e depois diminui devido à toxicidade;

🌍 (4) Agricultura — o rendimento da colheita versus aplicação de fertilizantes mostra retornos decrescentes e eventualmente negativos em níveis elevados;

📊 (5) Psicologia — a lei de Yerkes-Dodson descreve uma relação em U invertido entre excitação e desempenho. Os três coeficientes a, b e c são determinados resolvendo as equações normais - um sistema de três equações lineares construído a partir de somas de potências de x e produtos cruzados com y - usando eliminação gaussiana ou métodos matriciais. O método dos mínimos quadrados garante que a parábola resultante minimize a soma das distâncias verticais quadradas entre os valores de y observados e previstos, proporcionando o melhor ajuste quadrático possível aos dados.