خط انحدار المربعات الصغرى

📊 خط انحدار المربعات الصغرى (LSRL) هو الخط المستقيم الذي يقلل مجموع المسافات الرأسية المربعة بين نقاط البيانات المرصودة والخط. رياضيًا، إذا كان لدينا n نقاط بيانات (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ)، فإن LSRL هو السطر ŷ = mx + b الذي يقلل الكمية Σ(yᵢ − ŷᵢ)²، حيث ŷᵢ = mxᵢ + b هي القيمة المتوقعة القيم.

🏆 يُسمى هذا المعيار معيار المربعات الصغرى، ويُعرف الخط الناتج أيضًا بخط المربعات الصغرى العادية (OLS) أو خط أفضل ملائمة. تتمتع طريقة المربعات الصغرى بتاريخ غني يعود تاريخه إلى أدريان ماري ليجيندر عام 1805، الذي نشرها كوسيلة لتحديد مدارات المذنبات، وكارل فريدريش غاوس، الذي ادعى أنه كان يستخدمها منذ عام 1795 ثم طورها لاحقًا في نظريته عن الأخطاء.

⚠️ يأتي اسم "المربعات الصغرى" مباشرة من الهدف الرياضي: من بين كل ما هو ممكن. الخطوط، نختار الخط الذي يجعل مجموع المربعات المتبقية صغيرًا قدر الإمكان - الأقل مجموع المربعات. ويضمن تربيع القيم المتبقية (بدلاً من أخذ القيم المطلقة) أن الأخطاء الإيجابية والسلبية لا تلغي بعضها البعض، كما أنه يعطي وزنًا أكبر للانحرافات الأكبر، وهو أمر مرغوب فيه إحصائيًا.

📊 اليوم، يعد خط انحدار المربعات الصغرى الطريقة الأكثر استخدامًا لتركيب خط مستقيم من خلال نقاط البيانات في الإحصاء والاقتصاد والعلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية والهندسة. إنه بمثابة الأساس لتقنيات أكثر تقدمًا بما في ذلك الانحدار المتعدد والنماذج الخطية المعممة وخوارزميات التعلم الآلي. تُعلِّم كل دورة إحصائية تمهيدية LSRL باعتباره حجر الزاوية في تحليل الانحدار.