حاسبة الانحدار التربيعي

📐 الانحدار التربيعي هو أسلوب إحصائي لنمذجة العلاقات حيث يتبع المتغير التابع نمطًا مكافئًا أو على شكل حرف U بدلاً من خط مستقيم. المعادلة العامة هي y = ax² + bx + c، حيث يتحكم a في انحناء واتجاه القطع المكافئ (موجب a يفتح لأعلى، وسالب a يفتح لأسفل)، ويمثل b المكون الخطي أو ميل المنحنى، وc هو تقاطع y — القيمة المتوقعة لـ y عندما تساوي x صفرًا. على عكس الانحدار الخطي، الذي يناسب خطًا مستقيمًا ويفترض معدلًا ثابتًا للتغيير، فإن الانحدار التربيعي يلتقط الظواهر التي يتغير فيها معدل التغيير نفسه - أي حيث تتسارع العلاقة أو تتباطأ عبر نطاق قيم x. وهذا يجعله امتدادًا طبيعيًا للانحدار الخطي: في حين أن الانحدار الخطي يمثل ميلًا ثابتًا، فإن الانحدار التربيعي يضيف مصطلحًا ثانيًا يسمح للمنحدر بالتغير، مما ينتج منحنى بنقطة تحول واحدة (القمة). تشمل الأمثلة الواقعية ما يلي: (1) الفيزياء — تتبع حركة المقذوف قوسًا مكافئًا حيث يزيد الارتفاع أولاً ثم يتناقص كدالة للوقت؛

📈 (2) الاقتصاد — غالبًا ما تظهر وظائف التكلفة على شكل حرف U حيث ينخفض متوسط التكاليف أولاً بسبب وفورات الحجم ثم يزيد بسبب تناقص العوائد؛

📊 (3) علم الأحياء — منحنيات الاستجابة للجرعة حيث تزداد الفعالية مع جرعة تصل إلى الحد الأمثل ثم تنخفض بسبب السمية؛

🌍 (4) الزراعة - يُظهر إنتاج المحاصيل مقابل استخدام الأسمدة عوائد متناقصة وسلبية في النهاية عند مستويات عالية؛

📊 (5) علم النفس - يصف قانون يركس-دودسون علاقة مقلوبة على شكل حرف U بين الإثارة والأداء. يتم تحديد المعاملات الثلاثة a وb وc عن طريق حل المعادلات العادية — نظام من ثلاث معادلات خطية مبنية على مجموع قوى x وحاصل الضرب المتبادل مع y — باستخدام طرق الحذف أو المصفوفة الغوسية. تضمن طريقة المربعات الصغرى أن القطع المكافئ الناتج يقلل من مجموع المسافات العمودية المربعة بين قيم y المرصودة والمتوقعة، مما يوفر أفضل تناسب تربيعي ممكن للبيانات.