Калкулатор за квадратична регресия

📐 Квадратната регресия е статистическа техника за моделиране на връзки, при които зависимата променлива следва параболичен или U-образен модел, а не права линия. Общото уравнение е y = ax² + bx + c, където a контролира кривината и посоката на параболата (положителното a се отваря нагоре, отрицателното a се отваря надолу), b представлява линейната компонента или наклона на кривата, а c е пресечната точка с y — предвидената стойност на y, когато x е равно на нула. За разлика от линейната регресия, която отговаря на права линия и предполага постоянна скорост на промяна, квадратичната регресия улавя явления, при които самата скорост на промяна се променя - тоест, когато връзката се ускорява или забавя в диапазона от стойности на x. Това я прави естествено продължение на линейната регресия: докато линейната регресия моделира постоянен наклон, квадратичната регресия добавя втори член, който позволява на наклона да варира, създавайки крива с една повратна точка (върха). Примерите от реалния свят включват: (1) Физика — движението на снаряда следва параболична дъга, където височината първо нараства, след което намалява като функция на времето;

📈 (2) Икономика — функциите на разходите често показват U-образна форма, където средните разходи първо намаляват поради икономии от мащаба, след което нарастват поради намаляваща възвръщаемост;

📊 (3) Биология — криви доза-отговор, при които ефикасността се увеличава с доза до оптимална, след което намалява поради токсичност;

🌍 (4) Земеделие — добивът спрямо прилагането на тор показва намаляваща и в крайна сметка отрицателна възвръщаемост при високи нива;

📊 (5) Психология — законът на Йеркс-Додсън описва връзка с обърнато U между възбудата и представянето. Трите коефициента a, b и c се определят чрез решаване на нормалните уравнения - система от три линейни уравнения, изградена от суми от степени на x и кръстосани произведения с y - с помощта на елиминиране на Гаус или матрични методи. Методът на най-малките квадрати гарантира, че получената парабола минимизира сумата от квадратите на вертикалните разстояния между наблюдаваните и прогнозираните стойности на y, осигурявайки възможно най-доброто квадратично съответствие с данните.