Regressionslinie der kleinsten Quadrate

📊 Die Regressionslinie der kleinsten Quadrate (LSRL) ist die gerade Linie, die die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zwischen beobachteten Datenpunkten und der Linie minimiert. Wenn wir n Datenpunkte (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xₙ, yₙ) haben, ist die LSRL mathematisch gesehen die Linie ŷ = mx + b, die die Menge Σ(yᵢ − ŷᵢ)² minimiert, wobei ŷᵢ = mxᵢ + b die vorhergesagten Werte sind Werte.

🏆 Dieses Kriterium wird als Kriterium der kleinsten Quadrate bezeichnet, und die resultierende Linie wird auch als OLS-Linie (Ordinary Least Squares) oder Linie der besten Anpassung bezeichnet. Die Methode der kleinsten Quadrate hat eine lange Geschichte, die auf Adrien-Marie Legendre im Jahr 1805 zurückgeht, der sie als Methode zur Bestimmung der Umlaufbahnen von Kometen veröffentlichte, und auf Carl Friedrich Gauß, der behauptete, er habe sie seit 1795 verwendet und sie später in seiner Fehlertheorie weiterentwickelt.

⚠️ Der Name „kleinste Quadrate“ kommt direkt vom mathematischen Ziel: Unter allen möglichen Linien Wir wählen diejenige, die die Summe der quadrierten Residuen so klein wie möglich macht – die kleinste Summe der Quadrate. Das Quadrieren der Residuen (anstatt Absolutwerte zu nehmen) stellt sicher, dass sich positive und negative Fehler nicht gegenseitig aufheben, und verleiht größeren Abweichungen außerdem mehr Gewicht, was statistisch wünschenswert ist.

📊 Heutzutage ist die Regressionsgerade der kleinsten Quadrate die am weitesten verbreitete Methode zum Anpassen einer geraden Linie durch Datenpunkte in Statistik, Wirtschaft, Naturwissenschaften, Sozialwissenschaften und Ingenieurwesen. Es dient als Grundlage für fortgeschrittenere Techniken, einschließlich multipler Regression, verallgemeinerter linearer Modelle und Algorithmen für maschinelles Lernen. In jedem Einführungskurs in die Statistik wird die LSRL als Eckpfeiler der Regressionsanalyse vermittelt.