Quadratischer Regressionsrechner

📐 Die quadratische Regression ist eine statistische Technik zur Modellierung von Beziehungen, bei der die abhängige Variable einem parabolischen oder U-förmigen Muster und nicht einer geraden Linie folgt. Die allgemeine Gleichung lautet y = ax² + bx + c, wobei a die Krümmung und Richtung der Parabel steuert (positives a öffnet sich nach oben, negatives a öffnet sich nach unten), b stellt die lineare Komponente oder Neigung der Kurve dar und c ist der y-Achsenabschnitt – der vorhergesagte Wert von y, wenn x gleich Null ist. Im Gegensatz zur linearen Regression, die eine gerade Linie anpasst und eine konstante Änderungsrate annimmt, erfasst die quadratische Regression Phänomene, bei denen sich die Änderungsrate selbst ändert – das heißt, wenn sich die Beziehung über den Bereich der x-Werte beschleunigt oder verlangsamt. Dies macht sie zu einer natürlichen Erweiterung der linearen Regression: Während die lineare Regression eine konstante Steigung modelliert, fügt die quadratische Regression einen zweiten Term hinzu, der es der Steigung ermöglicht, zu variieren, wodurch eine Kurve mit einem einzigen Wendepunkt (dem Scheitelpunkt) entsteht. Beispiele aus der Praxis sind: (1) Physik – die Projektilbewegung folgt einem parabolischen Bogen, bei dem die Höhe als Funktion der Zeit zunächst zunimmt und dann abnimmt;

📈 (2) Ökonomie – Kostenfunktionen weisen häufig eine U-Form auf, bei der die Durchschnittskosten aufgrund von Skaleneffekten zunächst sinken und dann aufgrund sinkender Erträge steigen;

📊 (3) Biologie – Dosis-Wirkungs-Kurven, bei denen die Wirksamkeit mit der Dosis bis zu einem Optimum zunimmt und dann aufgrund der Toxizität abnimmt;

🌍 (4) Landwirtschaft – Ernteertrag gegenüber Düngemittelanwendung zeigt bei hohen Mengen abnehmende und schließlich negative Erträge;

📊 (5) Psychologie – das Yerkes-Dodson-Gesetz beschreibt eine umgekehrte U-Beziehung zwischen Erregung und Leistung. Die drei Koeffizienten a, b und c werden durch Lösen der Normalgleichungen – eines Systems aus drei linearen Gleichungen, die aus Summen von Potenzen von x und Kreuzprodukten mit y aufgebaut sind – mithilfe von Gaußschen Eliminations- oder Matrixmethoden bestimmt. Die Methode der kleinsten Quadrate stellt sicher, dass die resultierende Parabel die Summe der quadrierten vertikalen Abstände zwischen beobachteten und vorhergesagten y-Werten minimiert und so die bestmögliche quadratische Anpassung an die Daten liefert.