Calcolatore di regressione quadratica

📐 La regressione quadratica è una tecnica statistica per modellare le relazioni in cui la variabile dipendente segue uno schema parabolico o a forma di U anziché una linea retta. L'equazione generale è y = ax² + bx + c, dove a controlla la curvatura e la direzione della parabola (a positivo si apre verso l'alto, a negativo si apre verso il basso), b rappresenta la componente lineare o inclinazione della curva e c è l'intercetta y: il valore previsto di y quando x è uguale a zero. A differenza della regressione lineare, che adatta una linea retta e presuppone un tasso di cambiamento costante, la regressione quadratica cattura fenomeni in cui cambia il tasso di cambiamento stesso, ovvero dove la relazione accelera o decelera nell'intervallo di valori x. Ciò la rende un'estensione naturale della regressione lineare: mentre la regressione lineare modella una pendenza costante, la regressione quadratica aggiunge un secondo termine che consente alla pendenza di variare, producendo una curva con un unico punto di svolta (il vertice). Gli esempi del mondo reale includono: (1) Fisica: il movimento del proiettile segue un arco parabolico dove l'altezza prima aumenta e poi diminuisce in funzione del tempo;

📈 (2) Economia: le funzioni di costo spesso mostrano una forma a U dove i costi medi prima diminuiscono a causa delle economie di scala e poi aumentano a causa dei rendimenti decrescenti;

📊 (3) Biologia: dose-risposta curve in cui l'efficacia aumenta con la dose fino a un valore ottimale e poi diminuisce a causa della tossicità;

🌍 (4) Agricoltura: la resa del raccolto rispetto all'applicazione di fertilizzanti mostra rendimenti decrescenti e infine negativi a livelli elevati;

📊 (5) Psicologia: la legge Yerkes-Dodson descrive una relazione a U invertita tra eccitazione e prestazione. I tre coefficienti a, b e c vengono determinati risolvendo le equazioni normali - un sistema di tre equazioni lineari costruite da somme di potenze di x e prodotti incrociati con y - utilizzando metodi di eliminazione gaussiana o matriciali. Il metodo dei minimi quadrati garantisce che la parabola risultante riduca al minimo la somma delle distanze verticali quadrate tra i valori y osservati e quelli previsti, fornendo il miglior adattamento quadratico possibile ai dati.