Calculadora de regresión cuadrática

📐 La regresión cuadrática es una técnica estadística para modelar relaciones en las que la variable dependiente sigue un patrón parabólico o en forma de U en lugar de una línea recta. La ecuación general es y = ax² + bx + c, donde a controla la curvatura y la dirección de la parábola (a positiva se abre hacia arriba, a negativa se abre hacia abajo), b representa el componente lineal o inclinación de la curva y c es la intersección con el eje y, el valor predicho de y cuando x es igual a cero. A diferencia de la regresión lineal, que se ajusta a una línea recta y supone una tasa de cambio constante, la regresión cuadrática captura fenómenos en los que la tasa de cambio misma cambia, es decir, donde la relación se acelera o desacelera en todo el rango de valores de x. Esto la convierte en una extensión natural de la regresión lineal: mientras que la regresión lineal modela una pendiente constante, la regresión cuadrática agrega un segundo término que permite que la pendiente varíe, produciendo una curva con un único punto de inflexión (el vértice). Los ejemplos del mundo real incluyen: (1) Física: el movimiento del proyectil sigue un arco parabólico donde la altura primero aumenta y luego disminuye en función del tiempo;

📈 (2) Economía: las funciones de costos a menudo presentan una forma de U donde los costos promedio primero disminuyen debido a las economías de escala y luego aumentan debido a los rendimientos decrecientes;

📊 (3) Biología: curvas dosis-respuesta donde la eficacia aumenta con la dosis hasta un nivel óptimo y luego disminuye debido a la toxicidad;

🌍 (4) Agricultura: el rendimiento de los cultivos frente a la aplicación de fertilizantes muestra rendimientos decrecientes y eventualmente negativos en niveles altos;

📊 (5) Psicología: la ley de Yerkes-Dodson describe una relación de U invertida entre la excitación y el rendimiento. Los tres coeficientes a, b y c se determinan resolviendo las ecuaciones normales (un sistema de tres ecuaciones lineales construido a partir de sumas de potencias de x y productos cruzados con y) utilizando métodos matriciales o de eliminación gaussiana. El método de mínimos cuadrados garantiza que la parábola resultante minimice la suma de las distancias verticales al cuadrado entre los valores de y observados y predichos, proporcionando el mejor ajuste cuadrático posible a los datos.