Calculateur de régression quadratique

📐 La régression quadratique est une technique statistique permettant de modéliser des relations dans lesquelles la variable dépendante suit un modèle parabolique ou en forme de U plutôt qu'une ligne droite. L'équation générale est y = ax² + bx + c, où a contrôle la courbure et la direction de la parabole (un a positif s'ouvre vers le haut, un a négatif s'ouvre vers le bas), b représente la composante linéaire ou l'inclinaison de la courbe, et c est l'ordonnée à l'origine - la valeur prédite de y lorsque x est égal à zéro. Contrairement à la régression linéaire, qui correspond à une ligne droite et suppose un taux de changement constant, la régression quadratique capture les phénomènes dans lesquels le taux de changement lui-même change, c'est-à-dire lorsque la relation s'accélère ou décélère sur la plage de valeurs x. Cela en fait une extension naturelle de la régression linéaire : alors que la régression linéaire modélise une pente constante, la régression quadratique ajoute un deuxième terme qui permet de varier la pente, produisant une courbe avec un seul point d'inflexion (le sommet). Des exemples concrets incluent : (1) Physique — le mouvement du projectile suit un arc parabolique où la hauteur augmente d'abord puis diminue en fonction du temps ;

📈 (2) Économie — les fonctions de coût présentent souvent une forme en U où les coûts moyens diminuent d'abord en raison des économies d'échelle, puis augmentent en raison de rendements décroissants ;

📊 (3) Biologie — courbes dose-réponse où l'efficacité augmente avec la dose jusqu'à un niveau optimal puis diminue en raison de la toxicité ;

🌍 (4) Agriculture — le rendement des cultures par rapport à l'application d'engrais montre des rendements décroissants et finalement négatifs à des niveaux élevés ;

📊 (5) Psychologie — la loi de Yerkes-Dodson décrit une relation en U inversé entre l'éveil et la performance. Les trois coefficients a, b et c sont déterminés en résolvant les équations normales – un système de trois équations linéaires construites à partir de sommes de puissances de x et de produits vectoriels avec y – en utilisant des méthodes d'élimination gaussienne ou matricielles. La méthode des moindres carrés garantit que la parabole résultante minimise la somme des carrés des distances verticales entre les valeurs y observées et prédites, offrant ainsi le meilleur ajustement quadratique possible aux données.